Continuidad de operadores lineales

Sea $A:V\to W$ un operador lineal entre dos espacios normados $V$ y $W$ sobre un campo $\mathbb{F}$. Se dice que $A$ es continuo en un punto $v_0\in V$ si para toda sucesión $\{v_n\}$ en $V$ tal que $v_n\to v_0$, se cumple:

$$A(v_n)\to A(v_0)\text{en }W.$$

En el caso de operadores lineales, esta condición se reduce a la continuidad en el origen:

$$\text{A es continua en todo }V⟺A\text{ es continua en }0.$$

Equivalencia con acotación

Un operador lineal $A$ entre espacios normados es continuo si y solo si es acotado. Es decir, existe una constante $C>0$ tal que:

$$\Vert A(v)\Vert \le C\Vert v\Vert \text{para todo }v\in V.$$

Propiedades

• Todo operador lineal definido en un espacio de dimensión finita es continuo.
• En espacios infinito-dimensionales, no todo operador lineal es necesariamente continuo.
• La continuidad garantiza que $A$ es uniformemente continua y lipschitz continua.

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