Algoritmo de estimación de fase

El algoritmo cuántico de estimación de fase (Quantum Phase Estimation, QPE) es un algoritmo cuántico que permite estimar la fase $\varphi$ en un autovalor de la forma $e^{2\pi i\varphi }$ asociado a un operador unitario $U$ y a un eigenvector $|u⟩$ tal que:

$$U|u⟩=e^{2\pi i\varphi }|u⟩,\varphi \in [0,1).$$

El objetivo es obtener una estimación binaria de $\varphi$ con alta probabilidad. El algoritmo utiliza dos Registros:

• Un registro de $t$ qubits para almacenar la estimación binaria de $\varphi$.
• Un segundo registro que contiene el eigenvector $|u⟩$.

Esquema del algoritmo

1. Inicialización:

   $${|0⟩}^{\otimes t}\otimes |u⟩.$$

2. Transformada de Hadamard: Aplicar una puerta de Hadamard a cada uno de los $t$ primeros qubits:

   $$\frac{1}{\sqrt{2^t}}\sum _{k=0}^{2^t-1}|k⟩\otimes |u⟩.$$

3. Aplicación de operaciones controladas: Para cada qubit $j$ (desde $j=0$, el menos significativo, hasta $j=t-1$), aplicar controladamente $U^{2^j}$ al segundo registro. Esto genera

   $$\frac{1}{\sqrt{2^t}}\sum _{k=0}^{2^t-1}{e}^{2\pi i\varphi k}|k⟩\otimes |u⟩,$$

   donde $k={\sum }_{j=0}^{t-1}{k}_j{2}^j$ es el entero cuya representación binaria $k_{t-1}\dots k_0$ corresponde al estado $|k⟩$.

4. Transformada de Fourier cuántica inversa: Se aplica la QFT${}^{-1}$ al primer registro, transformando la información de fase en amplitudes cercanas a los estados $|m⟩$.

5. Medición: Medir el primer registro. El resultado es un entero $m\in \{0,\dots ,2^t-1\}$ que, con alta probabilidad, satisface

   $$\frac{m}{2^t}\approx \varphi ,$$

   es decir, se obtiene la mejor aproximación de $\varphi$ con $t$ bits de precisión.

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