Desigualdad de Cauchy-Schwarz

Sea $V$ un espacio vectorial sobre el campo $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, equipado con un producto interno $⟨\cdot |\cdot ⟩$. Para cualesquiera dos vectores $\mathbf{u},\mathbf{v}\in V$, la desigualdad de Cauchy-Schwarz se expresa como:

$$|⟨\mathbf{u}|\mathbf{v}⟩|\le \Vert \mathbf{u}\Vert \cdot \Vert \mathbf{v}\Vert ,$$

donde $\Vert \mathbf{u}\Vert =\sqrt{⟨\mathbf{u}|\mathbf{u}⟩}$ y $\Vert \mathbf{v}\Vert =\sqrt{⟨\mathbf{v}|\mathbf{v}⟩}$ son las normas de $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$, respectivamente, inducidas por el producto interno.

Esta desigualdad implica que el producto interno entre dos vectores no puede exceder el producto de sus normas.

Igualdad

Se tiene igualdad si y solo si $\mathbf{u}$ y $\mathbf{v}$ son linealmente dependientes, es decir, si uno es múltiplo escalar del otro.

Interpretación geométrica

Esta desigualdad permite definir el ángulo entre vectores vía:

$$\cos \theta =\frac{\Re (⟨\mathbf{u}|\mathbf{v}⟩)}{\Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert },$$

siempre que $\mathbf{u},\mathbf{v}\ne 0$.

algebra-lineal