Cuantización de un modo de vibración de una onda plana

Considere las expresiones de los campos eléctrico y magnético de una Onda electromagnética plana viajera en un modo de vibración $l$,

$\mathbf{E}(\mathbf{r},t)={\overrightarrow{ϵ}}_l{\mathcal{E}}_l(t)e^{i\{{\mathbf{k}}_l\cdot \mathbf{r}\}}+\text{c.c.};$

$\mathbf{B}(\mathbf{r},t)=\frac{{\mathbf{k}}_l\times {\overrightarrow{ϵ}}_l}{{\omega }_l}{\mathcal{E}}_l(t)e^{i\{{\mathbf{k}}_l\cdot \mathbf{r}\}}+\text{c.c.}.$

Podemos restringir este campo electromagnético a un volumen finito, que llamamos volumen de cuantización $V_l$.¹

En este caso tomamos una caja de longitud $L$, de modo que $V_l=L^3$. Y utilizamos condiciones de frontera periódicas:

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[\hat{Q}\mathcal{l},\hat{P}\mathcal{l}] = i\hbar.

Y el correspondiente [Hamiltoniano](../Elementos%20de%20Mecánica%20Cuántica/Hamiltoniano.md) $$\hat{H}_\mathcal{l}=\frac{\omega_\mathcal{l}}{2}\left(\hat{Q}_\mathcal{l}^2+\hat{P}_\mathcal{l}^2\right).

Observe que este Hamiltoniano corresponde con el Oscilador armónico cuántico.

Además, definimos los Operadores de creación y aniquilación

$$\begin{array}{rl}{\alpha }_l(t)& \to {\hat{a}}_l=\frac{1}{\sqrt{2\hslash }}({\hat{Q}}_l+i{\hat{P}}_l),\\ {\alpha }_l^{\ast }(t)& \to {\hat{a}}_l^{†}=\frac{1}{\sqrt{2\hslash }}({\hat{Q}}_l-i{\hat{P}}_l),\end{array}$$

con $[{\hat{a}}_l,{\hat{a}}_l^{†}]=1$. De lo cual, podemos recuperar el Hamiltoniano ${\hat{H}}_l=\hslash {\omega }_l({\hat{a}}_l^{†}{\hat{a}}_l+\frac{1}{2}).$

Observables

Footnotes

1. El volumen de cuantización no representa una restricción física fundamental, sino una herramienta matemática para discretizar los modos del campo. ↩