Representación de operadores lineales mediante productos ket-bra

Sea $A:V\to W$ un operador lineal, donde $V$ y $W$ son espacios de Hilbert con respectivas bases ortonormales $\{|v_i⟩{\}}_{i=1}^n$ para $V$ y $\{|w_j⟩{\}}_{j=1}^m$ para $W$.

Recordemos que los operadores identidad $I_V$ e $I_W$ pueden escribirse como:

$$I_V=\sum _i|v_i⟩⟨v_i|,I_W=\sum _j|w_j⟩⟨w_j|$$

por la Relación de completez en cada espacio.

Entonces, para cualquier $|v⟩\in V$:

$$A|v⟩=(I_{W}A{I}_V)|v⟩=\left(\sum _j|w_j⟩⟨w_j|\right)A\left(\sum _i|v_i⟩⟨v_i|\right)|v⟩$$ $$=\left(\sum _j|w_j⟩⟨w_j|\right)\left(\sum _i⟨v_i|v⟩A|v_i⟩\right)=\sum _{i,j}⟨v_i|v⟩⟨w_j|A|v_i⟩|w_j⟩$$ $$=\left(\sum _{i,j}⟨w_j|A|v_i⟩|w_j⟩⟨v_i|\right)|v⟩$$

Por lo tanto, se concluye que el operador $A$ puede escribirse como:

$$A=\sum _{i,j}⟨w_j|A|v_i⟩|w_j⟩⟨v_i|$$

Esta expresión se conoce como la representación ket-bra del operador $A$.

algebra-lineal