2nd order SUSY QM

Relación de entrelazamiento: $H^{-}{L}^{+}=L^{+}{H}^{+}$ Construye un espectro de $H^{-}$ con un nivel de energia adicional menor que los valores de energia del espectro de $H^{+}$ (verificando que la funcion de onda asociada al valor adicional sea de cuadrado integrable) $L^{-}|\psi ⟩=0$ Partiendo del espectro de $H^{-}$ se puede construir el espectro de $H^{+}$ (a traves de $L^{-}$)

Se tiene la relacion (where does this really come from?)

$$H^{-}{L}^{+}=L^{+}{H}^{+}\to H^{-}{L}^{-}=L^{-}{H}^{+}$$

Puesto que $(L^{+}{)}^{†}=L^{-}$.

Para definir SUSY QM de segundo orden, asumimos que el operador de entrelazamiento es de segundo orden. $V^{\pm }$ son cualesquiera potenciales que generan los Hamiltonianos $H^{\pm }$ Sean $H^{\pm }$ dos Hamiltonianos dados por

$$H^{\pm }=-\frac{d^2}{d{x}^2}+V^{\pm }$$

los cuales estan entrelazados de la siguiente manera

$$H^{+}{L}^{-}=L^{-}{H}^{+}$$

con

$$L^{-}=\frac{d^2}{d{x}^2}+\eta (x)\frac{d}{dx}+\gamma (x)$$

Supongase que son conocidas las eigenfunciones $\{{\varphi }_n^{-}\}$ y eigenvalores $\{E_n^{-}|E_n^{-}<E_{n+1}paran=0,1,\dots \}$ de $H^{-}$, entonces

$${\varphi }_n^{+}=L^{-}{\varphi }_n^{-}$$

es una eigenfuncion de $H^{+}$ con eigenvalor $E_n^{-}$

Notemos que la norma de ${\varphi }_n^{+}$ es tal que

$$({\varphi }_n^{+},{\varphi }_n^{+})=(L^{+}{\varphi }_n^{-},L^{-}{\varphi }_n^{-})=({\varphi }_n^{-},L^{+}{L}^{-}{\varphi }_n^{-})$$

Se tiene que

$$L^{+}=(L^{-}{)}^{†}=\frac{d^2}{d{x}^2}-\eta (x)\frac{d}{dx}+\gamma (x)-{\eta }^{\prime }(x)$$

Tomando el operador momento $\frac{d}{dx}=iP$.

Por otro lado, se puede verificar

$$H^{+}{L}^{-}=-\frac{d^4}{d{x}^4}+\eta \frac{d^3}{d{x}^3}+(V^{-}-2{\eta }^{\prime }-\gamma )\frac{d^2}{d{x}^2}+(\eta V^{+}-{\eta }^{\prime \prime }-2{\gamma }^{\prime })\frac{d}{dx}+(\gamma V^{+}-{\gamma }^{\prime \prime })$$

Y

$$L^{-}{H}^{-}=-\frac{d^4}{d{x}^4}+\eta \frac{d^3}{d{x}^3}+(V^{-}-\gamma )\frac{d^2}{d{x}^2}+(\eta V^{-}+2{V^{-}}^{\prime })\frac{d}{dx}+({V^{-}}^{\prime \prime }+\eta {V^{-}}^{\prime }+\gamma V^{-})$$

De lo cual

$$V^{+}=V^{-}+2{\eta }^{\prime };$$ $$\eta V^{+}-{\eta }^{\prime \prime }-2{\gamma }^{\prime }=\eta V^{-}+2{V^{-}}^{\prime };$$ $$\gamma V^{+}-{\gamma }^{\prime \prime }={V^{-}}^{\prime \prime }+\eta {V^{-}}^{\prime }+\gamma V^{-}.$$

Sustituyendo $V^{+}$ de la primer relacion en la segunda e integrando se obtiene

$$\gamma =\frac{{\eta }^2}{2}-\frac{{\eta }^{\prime }}{2}-V^{-}+d,$$

con $d$ una constante de integracion.

Por otro lado, si sustituimos $V^{+}$ de la primer ecuacion en la tercera ecuacion, se obtiene

$${\gamma }^{\prime \prime }=2\gamma {\eta }^{\prime }-{V^{-}}^{\prime \prime }-\eta V^{-}$$

Sustituyendo gamma anterior en esta ecuacion e integrando, obtenemos

$$\frac{\eta {\eta }^{\prime \prime }}{2}-(\frac{{\eta }^{\prime }}{2}{)}^2-{\eta }^2{\eta }^{\prime }+\frac{{\eta }^4}{4}-{\eta }^2{V}^{-}+{\eta }^{2}d+c=0$$

(a diferencia del caso de primer orden, no tenemos forma de linealizar esta ecuación)

Para determinar el valor de $\eta$, se propone lo siguiente (because it works):

$${\eta }^{\prime }={\eta }^2+2\beta (x)-2\xi (x)$$

Al utilizar la propuesta anterior se obtiene

$$({\beta }^{\prime }+{\beta }^2-V^{-}+\xi +d){\eta }^2-{\xi }^{\prime }+(c-{\xi }^2)=0$$

Si cada coeficiente es cero, entonces $\xi =cte$; ${\xi }^2=c\to \xi =\pm \sqrt{c}$ (what happens when $c$ is negative?). Entonces

$${\beta }^{\prime }+{\beta }^2-V^{-}+\xi +d=0$$

y

$${\beta }^{\prime }+{\beta }^2=V^{-}-ϵ,ϵ=\xi +d$$

(Ecuacion de Ricatti)

Se puede linealizar: Si $\beta =\frac{U^{\prime }}{U}$, se tiene que $-U^{\prime \prime }+V^{-}U=ϵU$ (Schrodinger equation) Por la forma en que se define $ϵ$, la energía de factorizacion, tiene dos posibles valores.

Por otro lado, $L^{\pm }{L}^{\mp }$ son

$$L^{+}{L}^{-}=(H^{-}-{ϵ}_1)(H^{-}-{ϵ}_2)$$ $$L^{-}{L}^{+}=(H^{+}-{ϵ}_1)(H^{+}-{ϵ}_2)$$

Entonces la norma

$$({\varphi }_n^{+},{\varphi }_n^{+})=({\Sigma }_n^{-}-{ϵ}_1)({\Sigma }_n^{-}-{ϵ}_2)\ge 0$$

Podemos clasificar las energías de factorizacion

• Si $c<0$, ${ϵ}_1\in \mathbb{C}$ , ${ϵ}_2=\overline{{ϵ}_1}$. Para este caso se tiene que $U_2=\overline{U_1}$ lo que nos lleva a $\eta =\frac{Im({ϵ}_1)}{Im({\beta }_1)}=\frac{({ϵ}_1-\overline{{ϵ}_1})|U_1{|}^2}{W(U_1,\overline{U_1})}$
• Si $c=0$, ${ϵ}_2={ϵ}_1$ (“Caso confluente”). En este caso $\eta =\eta (x,{\omega }_0)=\frac{U^2(x)}{{\omega }_0-{\int }_{x_0}^x{U}^2(t)dt}=\frac{W^{\prime }(x,{\omega }_0)}{W(x,{\omega }_0)}$ con $W(x,{\omega }_0)={\omega }_0-{\int }_{x_0}^x{U}^2(t)dt$. Aquí se exigen condiciones apropiadas para $W$ dependiendo de la forma de $U$.
• Si $c>0$, ${ϵ}_2\ne {ϵ}_1$, ${ϵ}_1,{ϵ}_2\in \mathbb{R}$. Se obtiene el valor de $\eta$. De la propuesta anteriormente mencionada, \eta ' = \eta^2 - 2 \beta_1 \eta - (\epsilon_1 - \epsilon_2)$$$$ \eta ' = \eta^2 - 2 \beta_2 \eta + (\epsilon_1 - \epsilon_2) Entonces $\eta =\frac{{ϵ}_1-{ϵ}_2}{{\beta }_1-{\beta }_2}=\frac{-({ϵ}_1-{ϵ}_2)U_1{U}_2}{W(U_1,U_2)}=-\frac{d}{dx}\ln W(U_1,U_2)$ Falta verificar si las funciones construidas a partir del operador de entrelazamiento son de cuadrado integrable, si $(E_n^{-}-{ϵ}_1)(E_n^{+}-{ϵ}_2)>0$.

(w.l.o.g. ${ϵ}_2<{ϵ}_1$)

• En el caso ${ϵ}_2<{ϵ}_1<E_0^{-}$, entonces ambos factores en la relacion anterior son positivos. Aqui se tiene que los estados

\phi^+_n = \frac{L^- \phi_n^-}{\sqrt{(E_n^- - \epsilon_1)(E_n^+ - \epsilon_2)}} $$ son eigenfunciones fisicas de $H^+$ con eigenvalores $E_n^-$. Luego, los eigenestados definidos como (funciones que encuentro a partir de la energia de factorizacion)

\phi^+{\epsilon{1,2}} \propto \frac{\eta}{U_{\epsilon_{1,2}}}

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