Teorema Espectral

Sea $A:V\to V$ un operador normal sobre un espacio de Hilbert $V$ de dimensión finita.

El teorema espectral afirma que existe una base ortonormal $\{|a⟩\}$ de $V$ formada por eigenvectores de $A$, tal que $A$ se puede expresar como:

$$A=\sum _{a}a|a⟩⟨a|,$$

donde $a$ recorre el conjunto de eigenvalores de $A$. Esta expresión se conoce como la descomposición espectral de $A$.

Resultados

1. $A$ es diagonalizable mediante una base ortonormal.
2. El operador $A$ actúa multiplicando por $a$ en la dirección de cada $|a⟩$: $A|a⟩=a|a⟩$
3. La evaluación funcional $f(A)$ está bien definida por: $f(A)={\sum }_{a}f(a)|a⟩⟨a|$
4. Si $A$ es Hermitiano, los autovalores $a$ son reales.

Observación

La descomposición espectral garantiza que cualquier operador normal puede representarse como suma ponderada de proyecciones ortogonales.

algebra-lineal