Adjunto de un operador

Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión finita sobre $\mathbb{F}$, equipado con un producto interno $(\cdot ,\cdot ):V\times V\to \mathbb{F}$. Dado un operador lineal $A:V\to V$, existe un único operador $A^{†}:V\to V$ tal que

$$(|v⟩,A|w⟩)=(A^{†}|v⟩,|w⟩)$$

para todo $|v⟩,|w⟩\in V$. Este operador se llama el adjunto o conjugado Hermitiano de $A$.

Representación matricial del adjunto

En cualquier base ortonormal para $V$, la matriz que representa a $A^{†}$ es la de la matriz que representa a $A$:

$$A^{†}=(\overline{A}{)}^T$$

Propiedades

Sean $A,B:V\to V$ operadores lineales, $|v⟩,|w⟩\in V$ vectores, y $a_i\in \mathbb{F}$ escalares:

1. ${\left(A^{†}\right)}^{†}=A$
2. $(AB{)}^{†}=B^{†}{A}^{†}$
3. $(A|v⟩{)}^{†}=⟨v|A^{†}$
4. $(|w⟩⟨v|{)}^{†}=|v⟩⟨w|$
5. ${\left({\sum }_i{a}_i{A}_i\right)}^{†}={\sum }_i\overline{a_i}{A}_i^{†}$

algebra-lineal