Espacio vectorial

Un espacio vectorial $V$ sobre un campo $\mathbb{F}$ es un conjunto, cuyos elementos llamamos vectores, equipado con dos operaciones:

1. Suma de vectores $+:V\times V\to V$
2. Multiplicación por escalares $\cdot :\mathbb{F}\times V\to V$

tales que, para todos $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in V$ y $a,b\in \mathbb{F}$, se satisfacen las siguientes propiedades:

1. Clausura bajo la suma: $\mathbf{u}+\mathbf{v}\in V$
2. Conmutatividad: $\mathbf{u}+\mathbf{v}=\mathbf{v}+\mathbf{u}$
3. Asociatividad de la suma: $(\mathbf{u}+\mathbf{v})+\mathbf{w}=\mathbf{u}+(\mathbf{v}+\mathbf{w})$
4. Elemento neutro aditivo: Existe $0\in V$ tal que $\mathbf{u}+0=\mathbf{u}$
5. Inverso aditivo: Para cada $\mathbf{u}\in V$, existe $-\mathbf{u}\in V$ tal que $\mathbf{u}+(-\mathbf{u})=0$
6. Clausura bajo la multiplicación escalar: $a\mathbf{v}\in V$
7. Asociatividad de escalares: $a(b\mathbf{v})=(ab)\mathbf{v}$
8. Elemento neutro escalar: $1\mathbf{v}=\mathbf{v}$, donde $1$ es el neutro multiplicativo de $\mathbb{F}$
9. Distributividad en la suma de vectores: $a(\mathbf{u}+\mathbf{v})=a\mathbf{u}+a\mathbf{v}$
10. Distributividad en la suma de escalares: $(a+b)\mathbf{v}=a\mathbf{v}+b\mathbf{v}$

algebra-lineal