Formas sesquilineales

Una forma sesquilineal es una generalización del concepto de forma bilineal para espacios vectoriales complejos. Es una aplicación que es conjugado‑lineal en el primer argumento y lineal en el segundo.

Sea $V$ un espacio vectorial complejo. Una aplicación:

$$\phi :V\times V\to \mathbb{C}$$

es una forma sesquilineal si cumple:

• Para todo $\mathbf{u}\in V$, la función $\phi (\cdot ,\mathbf{u})$ es conjugado‑lineal:

$$\phi (a{\mathbf{v}}_1+b{\mathbf{v}}_2,\mathbf{u})=\overline{a}\phi ({\mathbf{v}}_1,\mathbf{u})+\overline{b}\phi ({\mathbf{v}}_2,\mathbf{u})$$

• Para todo $\mathbf{v}\in V$, la función $\phi (\mathbf{v},\cdot )$ es lineal:

$$\phi (\mathbf{v},a{\mathbf{u}}_1+b{\mathbf{u}}_2)=a\phi (\mathbf{v},{\mathbf{u}}_1)+b\phi (\mathbf{v},{\mathbf{u}}_2)$$

Ejemplo

El producto interno usual en ${\mathbb{C}}^n$ es una forma sesquilineal:

$$⟨\mathbf{v},\mathbf{w}⟩=\sum _{i=1}^n\overline{v_i}{w}_i$$

algebra-lineal