Operadores acotados

Sea $A:V\to W$ un operador lineal entre dos espacios normados $V$ y $W$ sobre un campo $\mathbb{F}$. Decimos que $A$ es un operador acotado si existe una constante $C>0$ tal que:

$$\Vert A(v){\Vert }_W\le C\Vert v{\Vert }_V\text{para todo }v\in V.$$

Es decir, $A$ no amplifica arbitrariamente la norma de los vectores. Esta propiedad es equivalente a la continuidad de $A$ en espacios normados.

Interpretación

Los operadores acotados preservan el control sobre el “tamaño” (norma) de los vectores. Son el análogo funcional de las matrices con entradas finitas, pero en contextos potencialmente infinito-dimensionales.

Notación y norma operatorial

El conjunto de todos los operadores acotados de $V$ en $W$ se denota por $\mathcal{B}(V,W)$. Si $V=W$, escribimos simplemente $\mathcal{B}(V)$. Se define la norma operatorial como:

$$\Vert A\Vert =\underset{\Vert v\Vert \le 1}{\sup }\Vert A(v)\Vert$$

Propiedades

• Todo operador lineal definido sobre un espacio de dimensión finita es acotado.
• Si $A$ es acotado, entonces es continuo en todo $V$.
• $\mathcal{B}(V,W)$ es un espacio normado; si $W$ es un espacio de Banach, entonces $\mathcal{B}(V,W)$ también lo es.

analisis-funcional