Función medible

Sean $(\mathcal{X},\mathcal{A})$ y $(\mathcal{Y},\mathcal{B})$ espacios medibles. Una función medible es una aplicación $f:\mathcal{X}\to \mathcal{Y}$ tal que, para todo $B\in \mathcal{B}$, $f^{-1}(B)\in \mathcal{A}.$

Interpretación

• La condición de medibilidad garantiza que los eventos de interés en $\mathcal{Y}$ se pueden “trazar” a eventos en $\mathcal{X}$, de modo que conserven estructura medible.
• Dicho de otra forma: una función medible permite transportar medidas de un espacio a otro mediante la construcción de la medida imagen: ${\mu }_f(B)=\mu (f^{-1}(B)),B\in \mathcal{B}.$

Ejemplos

1. Función identidad:
   $f(x)=x$ es siempre medible.
2. Funciones continuas:
   Si $(\mathcal{X},\tau )$ y $(\mathcal{Y},{\tau }^{\prime })$ son espacios topológicos, toda función continua $f:\mathcal{X}\to \mathcal{Y}$ es medible respecto a las $\sigma$-álgebras de Borel.
3. Variables aleatorias:
   Una Variable aleatoria $X:(\Omega ,\mathcal{F},P)\to (\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$ es, por definición, una función medible.

Relación con otros conceptos

• La medibilidad es condición necesaria para definir la integral de Lebesgue de una función respecto a una medida.

• Las funciones medibles son el objeto central de estudio en la teoría de la probabilidad y en el análisis de espacios $L^p$.

análisis-funcional medida