Operadores unitarios

Un operador lineal $U:V\to V$ en un espacio vectorial $V$ con producto interno se dice que es unitario si su adjunto $U^{†}$ es también su inverso, es decir, si satisface la siguiente condición:

$$U{U}^{†}=U^{†}U=I$$

donde $I$ es el Operador identidad en $V$.

Esto implica que $U$ preserva el producto interno, de tal manera que para todos los vectores $|v⟩,|w⟩\in V$, se cumple que

$$(U|v⟩,U|w⟩)=⟨v|U^{†}U|w⟩=⟨v|I|w⟩=(|v⟩,|w⟩)=⟨v|w⟩$$

indicando que la longitud y el ángulo entre vectores se mantienen invariantes bajo la acción de $U$.

Observe que un operador unitario es normal.

Resultados

1. Un operador es unitario si y solo si cada una de sus representaciones matriciales en una base ortonormal es una matriz unitaria. Sea $\{|v_i⟩{\}}_{i=1}^n$ una base ortonormal para $V$ y sea $|w_i⟩\equiv U|v_i⟩$. Puesto que $U$ preserva productos internos, $\{|w_i⟩{\}}_{i=1}^n$ es también una base ortonormal para $V$, y se verifica que

$$U=\sum _i|w_i⟩⟨v_i|.$$

Además, si $\{|v_i⟩{\}}_{i=1}^n$ y $\{|w_i⟩{\}}_{i=1}^n$ son cualesquiera bases ortonormales, entonces $U={\sum }_i|w_i⟩⟨v_i|$ es un operador unitario.

2. Los eigenvalores de cualquier operador unitario en un espacio sobre $\mathbb{F}=\mathbb{C}$ tienen módulo 1.

3. Todo operador unitario admite una base ortonormal de eigenvectores; en caso de valores propios degenerados, dentro de cada subespacio propio se puede elegir una base ortonormal.

Representación matricial

La matriz de un operador unitario respecto a una base ortonormal cumple:

$$U^{†}=U^{-1}\text{o equivalentemente}{U}^{†}U=I.$$

En el caso real, los operadores unitarios coinciden con las matrices ortogonales: $U^{T}U=I$.

algebra-lineal