Ortogonalización de Gram-Schmidt

El proceso de Ortogonalización de Gram-Schmidt es un método algorítmico que permite transformar cualquier conjunto de vectores linealmente independientes en un conjunto ortogonal (u ortonormal si se normalizan los vectores resultantes) en el mismo espacio vectorial.

Sea $V$ un espacio vectorial sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, y sea $⟨\cdot |\cdot ⟩$ un producto interno en $V$. Supongamos que $\{|v_1⟩,|v_2⟩,\dots ,|v_n⟩\}$ es un conjunto de vectores linealmente independientes en $V$.

Paso 1: Inicialización

Tomamos $|v_1⟩$ y lo normalizamos (si se desea ortonormalidad):

$$|u_1⟩=\frac{|v_1⟩}{\Vert |v_1⟩\Vert },\text{donde }\Vert |v_1⟩\Vert =\sqrt{⟨v_1|v_1⟩}$$

Paso 2: Ortogonalización recursiva

Para cada $k=2,\dots ,n$, realizamos:

• Restamos de $|v_k⟩$ sus componentes proyectadas sobre los vectores $|u_1⟩,\dots ,|u_{k-1}⟩$:

$$|w_k⟩=|v_k⟩-\sum _{j=1}^{k-1}\frac{⟨u_j|v_k⟩}{⟨u_j|u_j⟩}|u_j⟩$$

• Si se desea ortonormalidad, normalizamos:

$$|u_k⟩=\frac{|w_k⟩}{\Vert |w_k⟩\Vert },\text{donde }\Vert |w_k⟩\Vert =\sqrt{⟨w_k|w_k⟩}$$

Resultado

El conjunto $\{|u_1⟩,|u_2⟩,\dots ,|u_n⟩\}$ es ortogonal (u ortonormal) y genera el mismo subespacio que el conjunto original. Además, para $i\ne j$, se tiene:

$$⟨u_i|u_j⟩=0,\text{y si ortonormal: }\Vert |u_i⟩\Vert =1$$

algebra-lineal