Descomposición polar

Sea $A$ un operador lineal inyectivo sobre un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$. La descomposición polar de $A$ consiste en escribirlo como el producto:

$$A=UP,$$

donde:

• $P=\sqrt{A^{†}A}$ es un operador positivo y autoadjunto,
• $U$ es un operador unitario.

Esta descomposición siempre existe y es única.

Interpretación geométrica

La descomposición polar separa el efecto de un operador en dos partes:

1. Una parte que actúa como una rotación o isometría ($U$), y
2. Una parte que estira o contrae las longitudes ($P$).

Esto es análogo a escribir un número complejo $z$ como $z=r{e}^{i\theta }$, donde $r$ es la magnitud y $e^{i\theta }$ representa una rotación.

algebra-lineal