Operadores Hermitianos

Un operador lineal $A:V\to V$ en un espacio vectorial $V$ con producto interno se dice que es Hermitiano o auto-adjunto si es igual a su adjunto, es decir, si satisface:

$$A=A^{†}$$

Esto significa que para todos los vectores $|v⟩,|w⟩\in V$, se cumple:

$$(|v⟩,A|w⟩)=(A|v⟩,|w⟩)$$

donde $(\cdot ,\cdot )$ denota el producto interno en $V$.

Un operador Hermitiano es en particular normal.

Resultados

1. Los eigenvalores de un operador Hermitiano son reales.
2. Un operador normal es Hermitiano si y solo si todos sus eigenvalores son reales.
3. Cualesquiera dos eigenvectores asociados a eigenvalores distintos de un operador Hermitiano son ortogonales.
4. Todo operador Hermitiano es diagonalizable mediante una base ortonormal de eigenvectores.

Representación matricial

La matriz de un operador Hermitiano respecto a una base ortonormal es igual a su :

$$A=A^{†}=(A^T{)}^{\ast }$$

Operadores simétricos

Si el espacio vectorial $V$ está definido sobre el campo de los reales $\mathbb{R}$, entonces la condición de hermiticidad:

$$(|v⟩,A|w⟩)=(A|v⟩,|w⟩)$$

implica que $A$ es un operador simétrico, y coincide con la noción usual de matriz simétrica:

$$A=A^T.$$

En este caso, el concepto de Hermitiano y simétrico coinciden, ya que no hay conjugación compleja.

algebra-lineal