Producto Ket-Bra

Sean $|\psi ⟩\in \mathcal{H}$ y $⟨\varphi |\in {\mathcal{H}}^{\ast }$, donde $\mathcal{H}$ es un espacio de Hilbert y ${\mathcal{H}}^{\ast }$ su dual. El producto ket-bra, denotado $|\psi ⟩⟨\varphi |$ es un operador lineal $|\psi ⟩⟨\varphi |:\mathcal{H}\to \mathcal{H}$ definido por

$$|\psi ⟩⟨\varphi |(|\chi ⟩)=|\psi ⟩⟨\varphi |\chi ⟩=⟨\varphi |\chi ⟩|\psi ⟩,$$

para cualquier vector $|\chi ⟩\in \mathcal{H}$.

Se verifica que, para cualquier vector $|v⟩\in \mathcal{H}$, el operador $|v⟩⟨v|$ es Hermitiano, pues:

$$(|v⟩⟨v|{)}^{†}=|v⟩⟨v|.$$

Más generalmente, el adjunto satisface:

$$(|\psi ⟩⟨\varphi |{)}^{†}=|\varphi ⟩⟨\psi |.$$

Este operador tiene rango 1 y su traza vale:

$$Tr(|\psi ⟩⟨\varphi |)=⟨\varphi |\psi ⟩.$$

Si $|v⟩$ está normalizado ($⟨v|v⟩=1$), entonces:

$$P=|v⟩⟨v|$$

es un proyector ortogonal, con $P^2=P$ y $P^{†}=P$.

Dados dos ket–bras, su producto es

$$(|\psi ⟩⟨\varphi |)(|\alpha ⟩⟨\beta |)=|\psi ⟩⟨\varphi |\alpha ⟩⟨\beta |=⟨\varphi |\alpha ⟩|\psi ⟩⟨\beta |.$$

Los operadores $\{|i⟩⟨j|\}$ forman una base de $\mathcal{L}(\mathcal{H})$ (ortonormal con el producto interno de Hilbert-Schmidt) y proporcionan la Relación de completez:

$$\sum _i|i⟩⟨i|=I.$$

Considerando la de $\mathcal{L}(\mathcal{H},\mathcal{H})$, se pueden tomar combinaciones lineales de ket–bras:

$$\sum _i{a}_i|{\psi }_i⟩⟨{\varphi }_i|(|\chi ⟩)=\sum _i{a}_i|{\psi }_i⟩⟨{\varphi }_i|\chi ⟩,$$

para escalares $a_i\in \mathbb{F}$ y todo $|\chi ⟩\in \mathcal{H}$.

Si $\{|i⟩{\}}_{i=1}^n$ es una base ortonormal de $\mathcal{H}$, la matriz de $|i⟩⟨j|$ tiene un 1 en la posición $(i,j)$ y 0 en las demás, consistente con el :

$$|i⟩⟨j|=\left(\begin{array}{c}0\\ ⋮\\ 1_i\\ ⋮\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{ccccc}0& \cdots & 1_j& \cdots & 0\end{array}\right).$$

Este formalismo permite expresar otros objetos en mecánica cuántica, como la matriz densidad de un estado puro:

$$\rho =|\psi ⟩⟨\psi |,$$

y la expansión de un operador general $A\in \mathcal{L}(\mathcal{H})$:

$$A=\sum _{i,j}{a}_{ij}|i⟩⟨j|,a_{ij}=⟨i|A|j⟩.$$

algebra-lineal