Función determinante

Una función determinante es una aplicación multilineal alternada y normalizada definida sobre un espacio vectorial. Esto es, dado $V$ un espacio vectorial de dimensión finita $n$ sobre un campo $\mathbb{F}$, y dado ${\mathrm{Alt}}^n(V)$, el conjunto de todas las aplicaciones $n$-lineales alternadas $f:V^n\to \mathbb{F}$. Una aplicación

$$\det :V^n\to \mathbb{F}$$

se llama determinante si satisface las siguientes propiedades:

1. Multilinealidad: $\det$ es lineal en cada uno de sus $n$ argumentos.

2. Alternancia: Si dos argumentos de $\det$ son iguales, entonces

$$\det (v_1,\dots ,v_i,\dots ,v_j,\dots ,v_n)=0\text{si }{v}_i=v_j.$$

3. Normalización: Existe una base $\{e_1,\dots ,e_n\}$ de $V$ tal que

$$\det (e_1,\dots ,e_n)=1.$$

Gracias a la multilinealidad y la alternancia, cualquier $f\in {\mathrm{Alt}}^n(V)$ queda totalmente determinado por el único valor

$$f(e_1,\dots ,e_n).$$

En consecuencia

$$\dim ({\mathrm{Alt}}^n(V))=1,$$

es decir, todo $f\ne 0$ es un múltiplo escalar de cualquier otro. Imponer la normalización

$$f(e_1,\dots ,e_n)=1$$

fija ese múltiplo a la unidad, de modo que existe un único generador normalizado, al que llamamos $\det$.

Cuando se fija una base $\{e_1,\dots ,e_n\}$ y se considera una matriz $A$ cuyas columnas (o filas) son vectores $v_1,\dots ,v_n\in V$, entonces

$$\det (v_1,\dots ,v_n)=\det (A),$$

es decir, el determinante matricial coincide exactamente con la aplicación abstracta definida en ${\mathrm{Alt}}^n(V)$.

algebra-lineal