Operaciones locales y comunicación clásica (LOCC)

El paradigma de operaciones locales y comunicación clásica (LOCC, por sus siglas en inglés: Local Operations and Classical Communication) es un marco fundamental en información cuántica para describir transformaciones sobre sistemas cuánticos distribuidos entre múltiples partes (por ejemplo, Alice y Bob) cuando sólo se dispone de operaciones locales y canales clásicos. LOCC define la clase básica de “operaciones gratuitas” en la teoría de recursos de entrelazamiento, es decir, aquellas que no generan entrelazamiento.

Definición formal

1. Sistema multipartito
   Sean ${\mathcal{H}}_A$ y ${\mathcal{H}}_B$ espacios de Hilbert de dimensión finita y ${\rho }_{AB}\in \mathcal{D}({\mathcal{H}}_A\otimes {\mathcal{H}}_B)$ el estado conjunto.

2. Instrumento cuántico local
   Para cada parte $X\in \{A,B\}$, un instrumento cuántico es un conjunto finito de mapas completamente positivos (CP) $\{{\mathcal{E}}_{x,i}{\}}_i$ tales que ${\sum }_i{\mathcal{E}}_{x,i}$ es trazapreservante. Cada uno puede expresarse mediante operadores de Kraus $\{K_{x,i}{\}}_i$ de modo que:

   $$\sum _i{K}_{x,i}^{†}{K}_{x,i}\le {\mathbb{I}}_X.$$

   La desigualdad corresponde a mapas completamente positivos traza-no-incrementantes (CP-TNI), y la igualdad se restaura al sumar todos los resultados posibles, produciendo un mapa completamente positivo y trazapreservante (CPTP).
   La probabilidad de obtener el resultado $i$ es:

   $$\mathrm{Pr}(i)=\mathrm{Tr}(K_{x,i}{\rho }_X{K}_{x,i}^{†}),$$

   dejando como estado postmedición (normalizado):

   $${\rho }_i=\frac{K_{x,i}{\rho }_X{K}_{x,i}^{†}}{\mathrm{Pr}(i)}.$$

3. Comunicación clásica
   Tras cada medición local, las partes intercambian (vía un canal clásico) el índice $i$ obtenido y condicionan sus operaciones futuras a esos resultados. Esto permite la construcción adaptativa del protocolo.

4. Protocolo adaptativo
   Un protocolo LOCC consiste en múltiples rondas de instrumentos locales, donde cada operación depende de los resultados anteriores. El mapa global es:

   $$\Lambda ({\rho }_{AB})=\sum _{\mathbf{i}}{K}_{\mathbf{i}}{\rho }_{AB}{K}_{\mathbf{i}}^{†},\text{con}\sum _{\mathbf{i}}{K}_{\mathbf{i}}^{†}{K}_{\mathbf{i}}=\mathbb{I}.$$

   Este mapa es CPTP y se construye a partir de operadores de Kraus de la forma $K_{\mathbf{i}}=A_{i_1}\otimes B_{i_2}\otimes \dots$, aplicados secuencialmente.

Clasificación de protocolos LOCC

• One–way LOCC: comunicación en una sola dirección (por ejemplo, Alice mide y envía a Bob).
• Two–way LOCC: comunicación bidireccional en múltiples rondas.
• LOCC finito (${\mathrm{LOCC}}_{\mathrm{fin}}$): número acotado de rondas de comunicación.
• LOCC infinito (${\mathrm{LOCC}}_{\infty }$): se permite un número arbitrario de rondas.

Relación con otras clases de operaciones

$${\mathrm{LOCC}}_{\mathrm{fin}}⊊{\mathrm{LOCC}}_{\infty }⊊\overline{\mathrm{LOCC}}⊊\mathrm{SEP}⊊\mathrm{PPT}\text{-}\mathrm{preserving},$$

donde:

• SEP (Separable operations): mapas CPTP con operadores de Kraus de producto $K_i=A_i\otimes B_i$.
• PPT–preserving: operaciones que preservan la positividad bajo transposición parcial.
• $\overline{\mathrm{LOCC}}$ denota la clausura topológica de ${\mathrm{LOCC}}_{\mathrm{fin}}$.

\paragraph{Propiedades topológicas.} Para un número fijo de rondas $N$, el conjunto ${\mathrm{LOCC}}_N$ es compacto y cerrado (en dimensión finita), pero su unión ${\mathrm{LOCC}}_{\mathrm{fin}}$ no es cerrada.
Incluso ${\mathrm{LOCC}}_{\infty }$, obtenida como la unión de todas las LOCC de rondas finitas, no es cerrada.
De hecho:

$${\mathrm{LOCC}}_{\mathrm{fin}}⊊{\mathrm{LOCC}}_{\infty }⊊\overline{\mathrm{LOCC}}⊊\mathrm{SEP}.$$

Este hecho fue demostrado por Chitambar et al. y Cohen en los contextos de medidas separables no implementables por ningún protocolo LOCC (ni siquiera en el límite de muchas rondas).

Teoría de recursos de entrelazamiento

• Recursos gratuitos: estados separables y operaciones LOCC.
• Transformaciones permitidas: $$\rho \stackrel{\mathrm{LOCC}}{\to }\sigma ⟺\exists {\Lambda }_{\mathrm{LOCC}}:\Lambda (\rho )=\sigma .$$
• Monótonos de entrelazamiento: funciones $E(\rho )$ que no aumentan bajo LOCC. Ejemplos:
  • Entropía de entrelazamiento (para estados puros),
  • Concurrencia,
  • Negatividad,
  • Entrelazamiento de formación,
  • Distilabilidad.

Transformaciones de estados puros: Teorema de Nielsen

Sean dos estados puros con descomposición de Schmidt:

$$|\psi ⟩=\sum _i\sqrt{{\lambda }_i}|ii⟩,|\varphi ⟩=\sum _i\sqrt{{\mu }_i}|ii⟩.$$

Entonces $|\psi ⟩\to |\varphi ⟩$ por LOCC si y sólo si:

$$\mathbf{\lambda }\prec \mathbf{\mu }$$

(es decir, el vector $\mathbf{\lambda }$ es mayorizado por $\mathbf{\mu }$).
Esto fue demostrado en \cite{NielsenMaj}.

Protocolos probabilísticos y asintóticos

• Probabilísticos (SLOCC): permiten éxito con probabilidad $p<1$, pero pueden generar estados inaccesibles determinísticamente.
• Asintóticos: para $n\to \infty$, $${\rho }^{\otimes n}\stackrel{\mathrm{LOCC}}{\to }{\sigma }^{\otimes m},\text{con fidelidad}\to 1.$$ Se definen las tasas: $$E_D(\rho )=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{m(n)}{n},E_C(\rho )=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{k(n)}{n},$$ donde $E_D$ es la distilabilidad y $E_C$ el costo de formación. Para estados puros bipartitos, se cumple $E_D=E_C=S({\rho }_A)$.

Ejemplos de protocolos LOCC

1. Teletransportación cuántica: usa un par de Bell y 2 bits clásicos para transferir un estado arbitrario.
2. Destilación de entrelazamiento: extrae pares de Bell de muchos estados parcialmente entrelazados.
3. Discriminación local de estados: clasificación mediante LOCC; no siempre posible (ej. estados ortogonales de producto que no pueden distinguirse por LOCC).
4. Preparación remota de estados (Remote State Preparation): similar a teletransportación, pero con estados conocidos.

Propiedades y limitaciones

• No todo mapa separable es implementable por LOCC: la inclusión $\mathrm{LOCC}⊊\mathrm{SEP}$ es estricta.
• ${\mathrm{LOCC}}_{\mathrm{fin}}$ no es cerrado: existen tareas (como ciertas discriminaciones) que requieren rondas infinitas o se aproximan en el límite.
• La clase ${\mathrm{LOCC}}_{\infty }$ sigue sin agotar $\overline{\mathrm{LOCC}}$.
• No existe una caracterización general y constructiva para todos los protocolos LOCC. Se conocen condiciones necesarias para casos específicos (ver \cite{ChitambarEtAl,Cohen15}).

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