Espacio de sucesiones cuadrado sumables

El espacio ${\ell }^2$ se define como el conjunto de todas las sucesiones de números reales o complejos $\{a_n\}$ tales que la suma de sus cuadrados es finita, es decir,

$${\ell }^2=\left\{\{a_n{\}}_{n=1}^{\infty }\mid a_n\in \mathbb{C},\sum _{n=1}^{\infty }|a_n{|}^2<\infty \right\}.$$

Dotado de un producto interno, este espacio es un ejemplo de espacio de Hilbert sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$. El producto interno en ${\ell }^2$ se define como

$$⟨\{a_n\},\{b_n\}⟩=\sum _{n=1}^{\infty }{a}_n{b}_n^{\ast },$$

donde $b_n^{\ast }$ denota el conjugado complejo de $b_n$. La norma asociada a este producto interno se expresa como

$$\Vert \{a_n\}\Vert =\sqrt{⟨\{a_n\},\{a_n\}⟩}=\sqrt{\sum _{n=1}^{\infty }|a_n{|}^2}.$$

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