Espacio de probabilidad

Un espacio de probabilidad es una tripleta $(\mathcal{X},\mathcal{A},P),$ donde:

• $(\mathcal{X},\mathcal{A})$ es un espacio medible,
• $P$ es una medida de probabilidad definida sobre $\mathcal{A}$.

Interpretación

• $\mathcal{X}$: el conjunto de resultados posibles de un experimento aleatorio (también llamado espacio muestral).
• $\mathcal{A}$: una σ-álgebra de subconjuntos de $\mathcal{X}$, cuyos elementos representan los eventos observables.
• $P$: una medida de probabilidad que asigna a cada evento $A\in \mathcal{A}$ un número $P(A)\in [0,1]$, interpretado como la probabilidad de que ocurra $A$.

Ejemplos

1. Lanzamiento de un dado justo: $$ \mathcal{X} = {1,2,3,4,5,6}, \quad \mathcal{A} = \mathcal{P}(\mathcal{X}), \quad P(A) = \frac{|A|}{6}.
2. Espacio gaussiano: $$ \mathcal{X} = \mathbb{R}, \quad \mathcal{A} = \mathcal{B}(\mathbb{R}), \quad P(A) = \int_A \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-x^2/2}, dx.
3. Modelo Bernoulli: $$ \mathcal{X} = {0,1}, \quad \mathcal{A} = \mathcal{P}(\mathcal{X}), \quad P({1}) = p, ; P({0}) = 1-p.

Relación con otros conceptos

• Una Variable aleatoria es una función medible $X:(\mathcal{X},\mathcal{A},P)\to (\mathcal{Y},\mathcal{B})$.
• Los modelos estadísticos son familias de espacios de probabilidad parametrizados por $\theta \in \Theta$.

probabilidad medida