Medición de un qubit sobre la base computacional

Un ejemplo simple pero importante de medición es la de un Qubit en la Base computacional. Esta es una medición sobre un solo qubit, con dos posibles resultados definidos por los dos operadores de medición $M_0=|0⟩⟨0|$, $M_1=|1⟩⟨1|$. En forma matricial,

$$M_0=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 0\end{array}\right);M_1=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}0& 1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 1\end{array}\right)$$

Observe que ambos $M_m$ son proyectores, i.e. $M_m^2=M_m$ y $M_m^{†}=M_m$. Ademas, de la Relación de completez, siendo $\{|0⟩,|1⟩\}$ una base ortonormal, se tiene $I\equiv |0⟩⟨0|+|1⟩⟨1|$. Luego se cumple la ecuación de completez: $I=M_0^{†}{M}_0+M_1^{†}{M}_1$. Supóngase que el estado a medirse es $|\psi ⟩=a|0⟩+b|1⟩$, luego, la probabilidad de obtener el resultado $0$ en la medición es

$$p(0)=⟨\psi |M_0^{†}{M}_0|\psi ⟩=⟨\psi |M_0|\psi ⟩=|a{|}^2$$

Similarmente,

$$p(1)=⟨\psi |M_1^{†}{M}_1|\psi ⟩=⟨\psi |M_1|\psi ⟩=|b{|}^2$$

Luego, el estado del sistema después de la medición en los dos casos es

$$\frac{M_0|\psi ⟩}{|a|}=\frac{a}{|a|}|0⟩\text{y}\frac{M_1|\psi ⟩}{|b|}=\frac{b}{|b|}|\psi ⟩$$

Dado que estos factores de Fase ($\frac{a}{|a|}$ y $\frac{b}{|b|}$) tienen módulo 1, los estados post-medición, son efectivamente $|0⟩$ y $|1⟩$.

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