Complemento ortogonal

Sea $V$ un espacio vectorial con producto interno definido, y sea $W\subseteq V$ un subespacio. El complemento ortogonal de $W$, denotado por $W^{\perp }$, se define como:

$$W^{\perp }=\{|v⟩\in V:⟨v|w⟩=0\text{ para todo }|w⟩\in W\}$$

Es decir, $W^{\perp }$ es el conjunto de todos los vectores en $V$ que son ortogonales a cada vector de $W$.

Propiedades

1. $W^{\perp }$ es un subespacio de $V$.
2. $(W^{\perp }{)}^{\perp }$ contiene a $W$, y si $W$ es cerrado en la métrica inducida por el producto interno (por ejemplo, en un espacio de Hilbert), entonces:

$$(W^{\perp }{)}^{\perp }=W$$

3. Si $V$ es un espacio de Hilbert y $W$ es un subespacio cerrado, entonces se tiene la descomposición directa:

$$V=W\oplus W^{\perp }$$

Interpretación

El complemento ortogonal permite descomponer cualquier vector $|v⟩\in V$ como:

$$|v⟩=|w⟩+|w^{\perp }⟩,\text{con }|w⟩\in W,|w^{\perp }⟩\in W^{\perp }$$

algebra-lineal