Postulado 3. Mediciones

Los resultados posibles de la medición de una variable dinámica son los eigenvalores del correspondiente operador Hermitiano. Si el resultado de la medición de un observable $A$, con correspondiente operador $\hat{A}$, sobre un estado $|\psi (t)⟩$ es $a_n$, entonces el estado del sistema inmediatamente después de la medición cambia al estado $|{\psi }_n⟩$, el eigenvector de $\hat{A}$ con correspondiente eigenvalor $a_n$.

Regla de Born

La probabilidad de obtener el resultado $a_n$ al medir el observable $A$ de un sistema en el estado $|\psi ⟩$ está dada por

$$Pr(a_n)=\frac{|⟨{\psi }_n|\psi ⟩{|}^2}{⟨\psi |\psi ⟩}=|⟨{\psi }_n|\psi ⟩{|}^2,$$

si el eigenvalor $a_n$ es no degenerado. En el caso en el que el vector es $m$-degenerado, la probabilidad de obtener $a_n$ en una medición de $A$ está dada por

$$Pr(a_n)=\frac{{\sum }_{j=1}^m|⟨{\psi }_n^j|\psi ⟩{|}^2}{⟨\psi |\psi ⟩}=\sum _{j=1}^m|⟨{\psi }_n^j|\psi ⟩{|}^2,$$

donde $|{\psi }_n^j⟩$ representa el $j$-ésimo eigenvector linealmente independiente de la base del eigenespacio asociado a $a_n$.

Observe que ${\sum }_{j}Pr(a_j)\equiv 1$, pues al menos uno de los valores del observable debe resultad de la medición.

El Valor esperado del resultado de la medición del observable $A$ está dado por

$$⟨A⟩=\sum _i{a}_{i}Pr(a_i)=\sum _i{a}_i|⟨{\psi }_i|\psi ⟩{|}^2=\sum _i{a}_i⟨\psi |{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|\psi ⟩$$

y de la ecuación de eigenvalores $A|{\psi }_i⟩=a_i|{\psi }_i⟩$, se sigue que

$$⟨A⟩=\sum _i⟨\psi |A|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|\psi ⟩$$

Además, siendo $\{|{\psi }_i⟩\}$, el conjunto de eigenvectores de $\hat{A}$ una base ortonormal, se verifica la Relación de completez ${\sum }_i|{\psi }_i⟩⟨{\psi }_i|=I$. Luego

$$⟨A⟩=⟨\psi |A|\psi ⟩.$$