Producto interno de Hilbert-Schmidt

El producto interno de Hilbert-Schmidt para dos operadores $A$ y $B$ en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ se define como:

$$⟨A,B{⟩}_{HS}=\text{Tr}(A^{†}B)$$

donde $A^{†}$ denota el adjunto de $A$, y $\text{Tr}(\cdot )$ denota la traza del operador.

Este producto interno induce una norma, llamada norma de Hilbert-Schmidt, definida como:

$$\Vert A{\Vert }_{HS}=\sqrt{⟨A,A{⟩}_{HS}}=\sqrt{\text{Tr}(A^{†}A)}$$

Esta definición asume que los operadores actúan sobre un espacio de Hilbert complejo y son de dimensión finita o, en el caso de dimensión infinita, que son compactos de manera que la traza esté bien definida.

algebra-lineal