Compuerta CNOT

La compuerta CNOT (del inglés Controlled-NOT) es una compuerta cuántica de dos qubits que aplica una operación NOT (o Pauli-X) sobre el segundo qubit (llamado qubit objetivo), si y solo si el primer qubit (el qubit de control) está en el estado $|1⟩$.

Definición operativa

Actúa sobre las bases computacionales $\{|00⟩,|01⟩,|10⟩,|11⟩\}$ de la siguiente manera:

$$\begin{array}{rl}\text{CNOT}|00⟩& =|00⟩,\\ \text{CNOT}|01⟩& =|01⟩,\\ \text{CNOT}|10⟩& =|11⟩,\\ \text{CNOT}|11⟩& =|10⟩.\end{array}$$

Representación matricial

La matriz de la compuerta CNOT en base computacional es:

$$\text{CNOT}=\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0\end{array}\right).$$

Propiedades

• Se puede expresar como una operación controlada: $\text{CNOT}=|0⟩⟨0|\otimes I+|1⟩⟨1|\otimes X$.

Relaciones de conmutación

¹La compuerta CNOT tiene relaciones de conmutación importantes con los operadores de Pauli:

$$\begin{array}{rl}CNO{T}_{c\to t}{X}_c& =(X_c\otimes X_t)CNO{T}_{s\to t}\\ CNO{T}_{c\to t}{Z}_c& =Z_{c}CNO{T}_{c\to t}\\ CNO{T}_{c\to t}{X}_t& =X_{t}CNO{T}_{c\to t}\\ CNO{T}_{c\to t}{Z}_t& =(Z_c\otimes Z_t)CNO{T}_{c\to t}\end{array}$$

La segunda ecuación implica que todos los estabilizadores del vecindario de $c$ permanecen invariantes, ya que $Z_c$ conmuta con la CNOT.

Footnotes

1. Pirker ↩