Oscilador armónico cuántico

El oscilador armónico cuántico es uno de los sistemas fundamentales de la mecánica cuántica. Modela una partícula de masa $m$ sujeta a una fuerza restauradora proporcional al desplazamiento, con hamiltoniano dado por:

$$\hat{H}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}+\frac{1}{2}m{\omega }^2{\hat{x}}^2,$$

donde $\hat{x}$ y $\hat{p}$ son los operadores de posición y momento, y $\omega$ es la frecuencia angular del sistema.

Se introducen los operadores de aniquilación y creación:

$$\hat{a}=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}\left(\hat{x}+\frac{i}{m\omega }\hat{p}\right),{\hat{a}}^{†}=\sqrt{\frac{m\omega }{2\hslash }}\left(\hat{x}-\frac{i}{m\omega }\hat{p}\right),$$

que satisfacen la relación de conmutación canónica:

$$[\hat{a},{\hat{a}}^{†}]=1.$$

El hamiltoniano puede escribirse en términos de estos operadores como:

$$\hat{H}=\hslash \omega \left({\hat{a}}^{†}\hat{a}+\frac{1}{2}\right).$$

Los estados propios del hamiltoniano son los llamados estados de ocupación o número $|n⟩$, que satisfacen:

$$\hat{H}|n⟩=E_n|n⟩,\text{con }{E}_n=\hslash \omega \left(n+\frac{1}{2}\right),n=0,1,2,\dots$$

Estos estados forman una base ortonormal del espacio de Hilbert del sistema:

$$⟨n|m⟩={\delta }_{nm},\sum _{n=0}^{\infty }|n⟩⟨n|=I.$$

Los operadores de creación y aniquilación actúan como:

$$\hat{a}|n⟩=\sqrt{n}|n-1⟩,{\hat{a}}^{†}|n⟩=\sqrt{n+1}|n+1⟩.$$

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