Matrices simétricas

Una matriz simétrica es una matriz cuadrada $A\in {\mathbb{F}}^{n\times n}$ tal que:

$$A^T=A,$$

es decir, la matriz es igual a su .

Esto implica que los elementos en posición simétrica respecto a la diagonal principal son iguales: $a_{ij}=a_{ji}$ para todo $i,j$.

Propiedades

• La suma de dos matrices simétricas es simétrica.
• Todo escalar por una matriz simétrica sigue siendo simétrica.
• $A^T=A$ si y solo si $⟨A\mathbf{v},\mathbf{w}⟩=⟨\mathbf{v},A\mathbf{w}⟩$ con respecto al producto interno canónico.
• Toda matriz cuadrada $B$ puede escribirse como suma de una matriz simétrica y una antisimétrica: $$B=\frac{1}{2}(B+B^T)+\frac{1}{2}(B-B^T)$$

Diagonalización

Si $\mathbb{F}=\mathbb{R}$, entonces toda matriz simétrica es diagonalizable por una matriz ortogonal:

$$A=QD{Q}^T,$$

donde $D$ es diagonal y $Q$ es ortogonal.

algebra-lineal