Medida de probabilidad

Sea $(\mathcal{X},\mathcal{A})$ un Espacio medible, donde $\mathcal{X}$ es un conjunto y $\mathcal{A}$ una σ-álgebra de subconjuntos de $\mathcal{X}$.

Una medida de probabilidad sobre $(\mathcal{X},\mathcal{A})$ es una función $P:\mathcal{A}\to [0,1]$ que satisface las siguientes propiedades:

1. No negatividad:
   $P(A)\ge 0$ para todo $A\in \mathcal{A}$.
2. Normalización:
   $P(\mathcal{X})=1$.
3. $\sigma$-aditividad:
   Si ${A_i}_{i=1}^{\infty }$ es una familia de conjuntos disjuntos en $\mathcal{A}$, entonces $P\left({\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i\right)={\sum }_{i=1}^{\infty }P(A_i).$

Interpretación

• $P(A)$ representa la probabilidad de que el resultado de un experimento aleatorio pertenezca al evento $A$.
• Una medida de probabilidad es un caso particular de una Medida donde la masa total está normalizada a $1$.

Ejemplos

1. Medida uniforme en un conjunto finito:
   Para $X=1,2,\dots ,n$ y $\mathcal{A}=\mathcal{P}(X)$, definimos $P(A)=\frac{|A|}{n},A\subseteq X.$
2. Distribución Bernoulli:
   En $X=0,1$, con parámetro $p\in [0,1]$, $P(\{1\})=p,P(\{0\})=1-p.$
3. Distribución normal estándar:
   En $(\mathbb{R},\mathcal{B}(\mathbb{R}))$, la medida $P$ asociada a la densidad $f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{e}^{-x^2/2}$ respecto a la medida de Lebesgue.

Relación con otros conceptos

• Toda medida de probabilidad es una Medida de Borel si se define sobre $\mathcal{B}({\mathbb{R}}^n)$.
• Los modelos estadísticos se construyen como familias de medidas de probabilidad parametrizadas.

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