Producto interno

El producto interno, en un espacio vectorial $V$ sobre $\mathbb{R}$ o $\mathbb{C}$, se define como una operación binaria $⟨\cdot |\cdot ⟩:V\times V\to \mathbb{F}$ (que toma dos vectores y devuelve un escalar), satisfaciendo las siguientes propiedades para todos $\mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\in V$:

1. Conjugada simétrica: $⟨\mathbf{u}|\mathbf{v}⟩=⟨\mathbf{v}|\mathbf{u}{⟩}^{\ast }$.
2. Linealidad en el segundo argumento¹: $⟨\mathbf{w}|a\mathbf{u}+b\mathbf{v}⟩=a⟨\mathbf{w}|\mathbf{u}⟩+b⟨\mathbf{w}|\mathbf{v}⟩$ para todos los escalares complejos $a,b$.
3. Definida positiva: $⟨\mathbf{u}|\mathbf{u}⟩\ge 0$ y $⟨\mathbf{u}|\mathbf{u}⟩=0$ si y solo si $\mathbf{u}=0$.

Resultados

• Linealidad conjugada en el primer argumento: $⟨a\mathbf{u}+b\mathbf{v}|\mathbf{w}⟩=a^{\ast }⟨\mathbf{u}|\mathbf{w}⟩+b^{\ast }⟨\mathbf{v}|\mathbf{w}⟩$

• Desigualdad de Cauchy-Schwarz: $|⟨\mathbf{u},\mathbf{v}⟩|\le \Vert \mathbf{u}\Vert \Vert \mathbf{v}\Vert$, donde $\Vert \mathbf{u}\Vert =\sqrt{⟨\mathbf{u},\mathbf{u}⟩}$ (norma inducida por el producto interno).

• $⟨\mathbf{v}|\mathbf{u}⟩=⟨\mathbf{v}|\mathbf{w}⟩,\forall \mathbf{v}\in V\Rightarrow \mathbf{u}=\mathbf{w}$.

producto interno en Cn

El producto interno en nuestro caso corresponde al producto interno usual en ${\mathbb{C}}^n$: $⟨\mathbf{u}|\mathbf{v}⟩={\sum }_{i=1}^n{u}_i^{\ast }{v}_i=\left(\begin{array}{cccc}{u}_1^{\ast }& u_2^{\ast }& \cdots & u_n^{\ast }\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right)$para $\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}{u}_1\\ u_2\\ ⋮\\ u_n\end{array}\right)$ y $\mathbf{v}=\left(\begin{array}{c}{v}_1\\ v_2\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right)$, donde $v_i^{\ast }$ representa el conjugado complejo de $v_i$.

algebra-lineal

Footnotes

1. La propiedad de linealidad en el segundo argumento es una convención particular en la mecánica cuántica, donde se utiliza la notación bra-ket. Esta convención difiere de la definición estándar en matemáticas puras, donde la linealidad se define en el primer argumento. ↩