Variedades Riemannianas

Una variedad Riemanniana es una variedad diferenciable $M$ junto con un tensor métrico definido positivo $g$, llamado métrica Riemanniana, que en cada punto $p\in M$ asigna un producto interno $g_p$ sobre el espacio tangente $T_{p}M$ de modo que:

• Para cada par de campos vectoriales $X,Y$ sobre $M$, la aplicación

$$p\mapsto g_p(X_p,Y_p)$$

es una función suave sobre $M$.

Formalmente, una variedad Riemanniana es el par $(M,g)$ donde:

• $M$ es una variedad diferenciable de dimensión $n$.
• $g$ es una sección suave del fibrado de 2-tensores simétricos $(T^{\ast }M\otimes T^{\ast }M)$ tal que $g_p$ es un producto interno para cada $p\in M$.

Propiedades

• La métrica Riemanniana permite definir la longitud de curvas, ángulos, normas, y distancias dentro de la variedad.

• Induce una estructura métrica local sobre $M$, y se puede definir la geometría intrínseca de $M$.

• La métrica también permite definir el conexión de Levi-Civita y el tensor de curvatura asociado.

Ejemplos

1. El espacio euclídeo ${\mathbb{R}}^n$ con el producto escalar estándar:

$$g_p(u,v)=u\cdot v$$

es una variedad Riemanniana trivial.

2. La esfera $S^n$ con la métrica inducida de ${\mathbb{R}}^{n+1}$.

3. Toda superficie regular en ${\mathbb{R}}^3$ hereda una métrica Riemanniana natural.

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