Espacio dual

Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{F}$. El espacio dual de $V$, denotado por $V^{\ast }$, es el conjunto de todas las funciones lineales $f:V\to \mathbb{F}$, llamadas funcionales lineales.

El conjunto $V^{\ast }$ es un espacio vectorial bajo las operaciones definidas punto a punto:

• Suma: $(f+g)(\mathbf{v}):=f(\mathbf{v})+g(\mathbf{v})$,
• Producto por escalar: $(af)(\mathbf{v}):=a\cdot f(\mathbf{v})$,

para todo $f,g\in V^{\ast }$, $a\in \mathbb{F}$ y $\mathbf{v}\in V$.

Dimensión del espacio dual

Si $V$ es de dimensión finita, entonces $\dim V^{\ast }=\dim V$.

Dada una base $\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$ de $V$, existe una base $\{f^1,\dots ,f^n\}$ de $V^{\ast }$, la base dual, tal que:

$$f^i({\mathbf{v}}_j)={\delta }_j^i,$$

donde ${\delta }_j^i$ es la Delta de Kronecker.

Dual de un vector columna

Cuando $V={\mathbb{C}}^n$, cada vector puede representarse como una matriz columna:

$$\mathbf{v}=\left[\begin{array}{c}{v}_1\\ ⋮\\ v_n\end{array}\right].$$

En este contexto, un funcional lineal $f\in V^{\ast }$ es una aplicación lineal $f:V\to \mathbb{C}$. Toda tal aplicación puede representarse como un producto matricial:

$$f(\mathbf{w})={\mathbf{v}}^{†}\mathbf{w},$$

donde ${\mathbf{v}}^{†}$ es el del vector $\mathbf{v}$. Esto define una función lineal, pues:

• Es lineal:

  $${\mathbf{v}}^{†}(a{\mathbf{w}}_1+b{\mathbf{w}}_2)=a{\mathbf{v}}^{†}{\mathbf{w}}_1+b{\mathbf{v}}^{†}{\mathbf{w}}_2.$$

• Su codominio es $\mathbb{C}$: el producto de un vector fila $1\times n$ con un vector columna $n\times 1$ es un escalar.

algebra-lineal