Determinante

Sea $A$ una matriz cuadrada de orden $n$, es decir, $A\in {\mathbb{F}}^{n\times n}$, donde $\mathbb{F}$ es un campo. El determinante de $A$, denotado $\det (A)$ o $|A|$, es una Función determinante que devuelve un escalar asociado a $A$ que refleja propiedades fundamentales como la invertibilidad, el volumen transformado, y el cambio de orientación en transformaciones lineales.

Definición

Para $n=2$, si

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),$$

entonces:

$$\det (A)=ad-bc$$

Para $n=3$,

$$\det (A)=aei+bfg+cdh-ceg-bdi-afh$$

si $A=\left(\begin{array}{ccc}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{array}\right)$.

En general, para $n\ge 1$, el determinante se define recursivamente mediante cofactores:

$$\det (A)=\sum _{j=1}^n(-1{)}^{1+j}{a}_{1j}\det (A_{1j})$$

donde $A_{1j}$ es la submatriz que se obtiene eliminando la fila 1 y la columna $j$.

Propiedades

1. $\det (I_n)=1$.
2. $\det (AB)=\det (A)\det (B)$.
3. $\det (A^T)=\det (A)$.
4. $\det (A)=0$ si y solo si $A$ es .
5. Si $A$ es triangular, su determinante es el producto de sus elementos diagonales.
6. $\det (A^{-1})=1/\det (A)$, si $A$ es invertible.

Interpretación geométrica

El determinante de una matriz representa el factor de escala del volumen (área en ${\mathbb{R}}^2$, volumen en ${\mathbb{R}}^3$) bajo la transformación lineal inducida por la matriz. Un determinante negativo implica un cambio de orientación.

Ejemplo: Sea $A=\left(\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right)$. Entonces:

$$\det (A)=(1)(4)-(2)(3)=4-6=-2$$

algebra-lineal