Modelo estadístico

Un modelo estadístico es una familia de medidas de probabilidad sobre un Espacio medible $(\mathcal{X},\mathcal{A})$, parametrizada por un conjunto $\Theta \subseteq {\mathbb{R}}^d$ llamado espacio de parámetros. Formalmente, un modelo estadístico es la familia: $\mathcal{P}=\{P_{\theta }:\theta \in \Theta \},$ donde cada $P_{\theta }$ es una medida de probabilidad en $(\mathcal{X},\mathcal{A})$.

Interpretación

• El conjunto $\Theta$ representa los posibles estados o hipótesis acerca de la distribución de los datos.
• Observar datos $X\in \mathcal{X}$ se interpreta como una realización aleatoria cuya distribución está gobernada por algún $P_{\theta }$ desconocido.
• El problema estadístico consiste en inferir (parcial o completamente) el valor de $\theta$ a partir de observaciones.

Ejemplos

1. Modelo Gaussiano:
   Para $\Theta =\mathbb{R}\times (0,\infty )$, definimos $\mathcal{P}=\{\mathcal{N}(\mu ,{\sigma }^2):(\mu ,\sigma )\in \Theta \},$ donde cada $P_{(\mu ,\sigma )}$ es la medida normal con media $\mu$ y varianza ${\sigma }^2$.

2. Modelo de Bernoulli:
   Para $\Theta =[0,1]$, $\mathcal{P}=\{\text{Bernoulli}(p):p\in [0,1]\}.$

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