Disco de Poincaré

El modelo del disco de Poincaré es una realización del espacio hiperbólico bidimensional, es decir, un modelo de geometría no euclídea con curvatura constante negativa.

Formalmente, el espacio se define como el conjunto:

$$\mathbb{D}=\{z\in \mathbb{C}\mid |z|<1\}$$

junto con la métrica Riemanniana:

$$d{s}^2=\frac{4|dz{|}^2}{(1-|z{|}^2{)}^2}.$$

Geometría del disco

• Los puntos del espacio son los puntos del disco abierto unitario $\mathbb{D}$ en el plano complejo.

• Las líneas geodésicas son segmentos de circunferencias ortogonales al borde del disco (o bien diámetros).

• La curvatura del disco de Poincaré es constante y negativa:

$$K=-1.$$

Propiedades

• El modelo es conforme, es decir, preserva los ángulos entre curvas.

• La métrica induce una distancia hiperbólica dada por:

$$d(z_1,z_2)={\tanh }^{-1}\left|\frac{z_1-z_2}{1-{\bar{z}}_1{z}_2}\right|.$$

• El grupo de isometrías del disco es el grupo de transformaciones de Möbius que preservan $\mathbb{D}$:

$$z\mapsto \frac{az+b}{\bar{b}z+\bar{a}},\text{con }|a{|}^2-|b{|}^2=1.$$

Ejemplos de aplicaciones

• En teoría de números y funciones modulares, el disco de Poincaré se usa como dominio para acciones de grupos Fuchsianos.

• En Geometría hiperbólica, sirve como una representación visual intuitiva del plano hiperbólico.

• En teoría cuántica de campos y teoría de cuerdas, aparece como modelo de espacio-tiempo con simetría conforme.

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