Segunda Ley de Newton en 1D

Consideramos el movimiento de una particula en $R^1$, el cual puede ser interpretado como una particula deslizandose sobre una linea. Denotamos por $x(t)$ a la posición de la particula. La posicion de la particula entonces es

v(t)\coloneqq x'(t) $$ #missing-notation La aceleracion de la particula es

a(t)=v’(t)=x”(t)

Si asumimos que existe una fuerza $F$ actuando sobre la particula. Suponemos que la fuerza $F$ es una funcion dependiente unicamente de la posicion de la particula. Entonces, la segunda ley de Newton, $F=ma$ toma la forma

F(x(t))=ma=mx”(t)

Donde $m$ denota la masa de la particula. Puesto que la ecuacion diferencial anterior es de segundo orden, para obtener una solucion unica, requerimos condiciones iniciales de posicion y velocidad para un tiempo inicial $t_0$,

x(t_0)=x_0; x’(t_0)=v_0

Si la funcion $F$ es una [funcion suave](funcion%20suave), de la teoria elemental de ecuaciones diferenciales, se tiene que existe una [solucion local](solucion%20local) unica para cada par de condiciones iniciales. Puesto que la ecuacion anterior es en general no-lineal, no puede esperarse que la solucion existe para todo $t$.