Matrices invertibles

Una matriz invertible (o matriz no singular) es una matriz cuadrada $A\in {\mathbb{F}}^{n\times n}$ tal que existe otra matriz denotada $A^{-1}\in {\mathbb{F}}^{n\times n}$ que satisface:

$$A{A}^{-1}=A^{-1}A=I,$$

donde $I$ es la Matriz identidad de orden $n$. A dicha matriz $A^{-1}$ se le llama la inversa de $A$.

Matrices singulares

Si $A$ no es invertible se dice que es singular.

Caracterización

Una matriz $A$ es invertible si y solo si:

• Su Determinante es distinto de cero: $\det (A)\ne 0$.
• El sistema lineal $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ tiene solución única para toda $\mathbf{b}\in {\mathbb{F}}^n$.
• Las columnas y filas de $A$ forman una base de ${\mathbb{F}}^n$.
• …

Propiedades

1. $(A^{-1}{)}^{-1}=A$
2. $(AB{)}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}$
3. $(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T$
4. $\det (A^{-1})=1/\det (A)$

algebra-lineal