Combinaciones lineales e independencia lineal

Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{F}$ y sean ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}\in V$. Una combinación lineal de los vectores ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$ es cualquier vector $\mathbf{u}\in V$ que se puede escribir como:

$$\mathbf{u}=a_1{\mathbf{v}}_1+a_2{\mathbf{v}}_2+\dots +a_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$$

donde $a_1,a_2,\dots ,a_n\in \mathbb{F}$ son escalares.

Decimos que el conjunto $\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}\}$ es linealmente independiente si la única combinación lineal que da como resultado el vector cero es la trivial:

$$a_1{\mathbf{v}}_1+a_2{\mathbf{v}}_2+\dots +a_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}=0⟹a_1=a_2=\dots =a_n=0$$

En caso contrario, el conjunto es linealmente dependiente.

Observación: Si $\mathcal{A}=\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}\}$ es un conjunto linealmente independiente, entonces ningún vector ${\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}\in \mathcal{A}$ puede escribirse como combinación lineal de los otros vectores del conjunto:

$${\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}\ne a_1{\mathbf{v}}_1+\dots +a_{i-1}{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}-1}+a_{i+1}{\mathbf{v}}_{\mathbf{i}+1}+\dots +a_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$$

para ningunos escalares $a_j\in \mathbb{F}$.

Equivalente a decir: la representación

$${\mathbf{v}}_{\mathbf{i}}=a_1{\mathbf{v}}_1+\dots +a_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$$

es única, con $a_j=0$ para todo $j\ne i$ y $a_i=1$.

algebra-lineal