Grupo de Pauli

El grupo de Pauli en $1$ qubit denotado por $\mathcal{P}$, es un Grupo que consta de las 16 matrices formadas por el producto de los elementos del conjunto de factores de fase $\pm 1,\pm i$ y el conjunto de matrices de Pauli $\{{\sigma }_0,{\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z\}$. En un ligero abuso de notación, se dice que el grupo de Pauli es el grupo generado

$$\mathcal{P}:=⟨\{\pm 1,\pm i\}\times \{{\sigma }_0,{\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z\}⟩\equiv \{\pm {\sigma }_0,\pm i{\sigma }_0,\pm {\sigma }_x,\pm i{\sigma }_x,\pm {\sigma }_y,\pm i{\sigma }_y,\pm {\sigma }_z,\pm i{\sigma }_z\}.$$

El grupo de Pauli en $n$ qubits, ${\mathcal{P}}_n$ es el grupo generado por los operadores de ${\mathcal{P}}_1$ aplicados a cada uno de los $n$ qubits en el espacio de Hilbert $({\mathbb{C}}^2{)}^{\otimes n}$, esto es,

$${\mathcal{P}}_n=⟨W_1\otimes \cdots \otimes W_n|W_i\in \mathcal{P}⟩.$$

Equivalentemente podemos representar

$${\mathcal{P}}_n=\{e^{i\theta \pi /2}{\sigma }_{j_1}\otimes \dots {\sigma }_{j_n}|\theta =0,1,2,3,j_k=0,1,2,3\}.$$

El de ${\mathcal{P}}_n$ es $4\cdot 4^n$, puesto que cualquier factor escalar $\pm 1,\pm i$ en un producto tensorial puede ser movido de posición.