Medida

Sea $(\mathcal{X},\mathcal{A})$ un Espacio medible. Una medida en $(\mathcal{X},\mathcal{A})$ es una función $\mu :\mathcal{A}\to [0,+\infty ]$ que satisface las propiedades:

1. No negatividad:
   $\mu (A)\ge 0$ para todo $A\in \mathcal{A}$.
2. Nulidad del vacío:
   $\mu (\varnothing )=0$.
3. $\sigma$-aditividad (aditividad numerable):
   Si ${A_i}_{i=1}^{\infty }\subseteq \mathcal{A}$ son disjuntos dos a dos, entonces $\mu \left({\bigcup }_{i=1}^{\infty }{A}_i\right)={\sum }_{i=1}^{\infty }\mu (A_i).$

Interpretación

• Una medida es una generalización del concepto de “longitud”, “área” o “volumen” a conjuntos más abstractos.
• Permite cuantificar el “tamaño” de subconjuntos de $\mathcal{X}$ de manera coherente con la estructura de la $\sigma$-álgebra.

Ejemplos

1. Medida de conteo:
   Para $X$ un conjunto cualquiera y $\mathcal{A}=\mathcal{P}(X)$, $\mu (A)=|A|,A\subseteq X.$
2. Medida de Lebesgue en $\mathbb{R}$:
   Extiende la noción usual de longitud de intervalos a una σ-álgebra más amplia: $\mu ((a,b))=b-a.$
3. Medida de probabilidad:
   Una Medida de probabilidad $P$ es una medida tal que $\mu (\mathcal{X})=1$.

Relación con otros conceptos

• Una integral de Lebesgue se define a partir de una medida $\mu$.

• El análisis de espacios $L^p$ depende de una medida subyacente.

• En estadística, toda Variable aleatoria se estudia respecto a una medida de probabilidad.

teoría-de-la-probabilidad análisis-funcional medidas

---

¿Quieres que prepare también la entrada para integral de Lebesgue, que es la herramienta natural asociada a una medida?