Base y dimensión

Base de un espacio vectorial

Una base de un espacio vectorial $V$ sobre un campo $\mathbb{F}$ es un conjunto de vectores en $V$, linealmente independientes y que generan a $V$.

Formalmente, un conjunto $\mathcal{B}=\{{\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,\dots ,{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}\}$ es una base de $V$ si y solo si:

1. $\mathcal{B}$ es linealmente independiente.

2. $span\{\mathcal{B}\}=V$, esto es, cada vector en $V$ puede ser expresado como una combinación lineal de los vectores en $\mathcal{B}$: para todo $\mathbf{u}\in V$, existen escalares $b_1,b_2,\dots ,b_n\in \mathbb{F}$ tal que $\mathbf{u}=b_1{\mathbf{v}}_1+b_2{\mathbf{v}}_2+\dots +b_n{\mathbf{v}}_{\mathbf{n}}$.

Se verifica que si ${\mathcal{B}}_1$ y ${\mathcal{B}}_2$ son bases de $V$, entonces $|{\mathcal{B}}_1|=|{\mathcal{B}}_2|$ (i.e. ${\mathcal{B}}_1$ y ${\mathcal{B}}_2$ tienen el mismo número de elementos). Esto motiva la siguiente definición.

Dimensión de un espacio vectorial

La dimensión de un espacio vectorial $V$, denotada por $\dim (V)$, se define como el número de vectores en una base de $V$. Para un espacio vectorial finito, la dimensión es un entero no negativo que representa el mínimo de vectores linealmente independientes necesarios para generar $V$.

En nuestro estudio nos limitamos a espacios vectoriales con dimensión finita.

• Todo espacio vectorial $V$ sobre un campo $\mathbb{F}$ tiene al menos una base.

• Si un espacio vectorial $V$ tiene una base consistente en $n$ vectores y si $|u_1⟩,|u_2⟩,\dots ,|u_m⟩$ es un conjunto linealmente independiente de vectores en $V$, entonces $m\le n$. Además, es posible reemplazar $m$ vectores en la base de $V$ por los vectores $|u_1⟩,|u_2⟩,\dots ,|u_m⟩$, obteniendo una nueva base de $V$.

• Si $W$ es un subespacio de $V$ con dimensión finita, entonces existe un subespacio $U$ de $V$ tal que $V=W\oplus U$ (suma directa), y $\dim (V)=\dim (W)+\dim (U)$.

algebra-lineal