Descomposición de Schmidt

Sean ${\mathcal{H}}_1$, ${\mathcal{H}}_2$ espacios de Hilbert de dimensiones $n$ y $m$ respectivamente, con $n\ge m$.

Entonces, para todo vector en el producto tensorial $w\in {\mathcal{H}}_1\otimes {\mathcal{H}}_2$, existe una descomposición de la forma:

$$w=\sum _{i=1}^m{\alpha }_i{u}_i\otimes v_i,$$

donde:

• $\{u_1,\dots ,u_m\}\subset {\mathcal{H}}_1$ y $\{v_1,\dots ,v_m\}\subset {\mathcal{H}}_2$ son conjuntos ortonormales,
• ${\alpha }_i\in {\mathbb{R}}_{\ge 0}$ son los llamados coeficientes de Schmidt,
• la representación es única salvo reordenamiento de los términos.

Esta descomposición se conoce como la descomposición de Schmidt del vector $w$.¹

algebra-lineal

Footnotes

1. https://en.wikipedia.org/wiki/Schmidt_decomposition ↩