Suma directa de subespacios

Sea $V$ un espacio vectorial sobre un campo $\mathbb{F}$, y sean $U,W\subseteq V$ subespacios. Se dice que $V$ es la suma directa de $U$ y $W$, y se escribe:

$$V=U\oplus W,$$

si se cumplen las siguientes condiciones:

1. Todo vector $|v⟩\in V$ se puede escribir de forma única como:

$$|v⟩=|u⟩+|w⟩,\text{con }|u⟩\in U,|w⟩\in W.$$

2. La intersección es trivial:

$$U\cap W=\{0\}$$

Esto garantiza que $U+W=V$ y que la descomposición es única. La suma directa se puede generalizar a más de dos subespacios.

Resultados

• Si $V$ está dotado de un producto interno $U$ es un subespacio cerrado y $W=U^{\perp }$ es su Complemento ortogonal, entonces

$$V=U\oplus U^{\perp }.$$

algebra-lineal