Operadores normales

Un operador lineal $A:V\to V$ en un espacio vectorial $V$ con producto interno se dice que es normal si conmuta con su adjunto, es decir, si satisface

$$A{A}^{†}=A^{†}A.$$

Resultados

1. Teorema Espectral: Todo operador normal admite una descomposición espectral ortonormal.

2. Caracterización Hermitiana: Un operador normal $T$ es Hermitiano $T=T^{†}$ si y solo si su espectro $\sigma (T)$ es real.

3. Equivalencia unitaria: Dos operadores normales (T) y (S) sobre un mismo espacio de Hilbert $\mathcal{H}$ son unitariamente equivalentes si existe un operador unitario$U$ tal que: $UT{U}^{†}=S.$ Esto implica que el espectro determina la estructura del operador hasta equivalencia unitaria.

4. Igualdad de normas: Para todo $x\in \mathcal{H}$ se cumple $\Vert Tx\Vert =\Vert T^{†}x\Vert ,$ lo cual equivale a $\ker T=\ker T^{†}$.

5. norma e imagen espectral: La norma de un operador normal es igual a su radio espectral:

$$\Vert T\Vert =\sup \{|\lambda |:\lambda \in \sigma (T)\}$$

donde $\sigma (T)$ es el espectro de $T$.

6. Casos particulares:
   • Hermitiano: $T=T^{†}$
   • Unitario: $T{T}^{†}=T^{†}T=I$
   • Positivo: $T=T^{†}$ y $⟨Tx,x⟩\ge 0$ para todo $x\in \mathcal{H}$

algebra-lineal