Diagonalización

Un operador lineal $A:V\to V$ en un espacio vectorial $V$ sobre un campo $\mathbb{F}$ se dice que es diagonalizable si existe una base $\{|v_1⟩,\dots ,|v_n⟩\}$ de $V$ formada por eigenvectores de $A$.

Esto implica que $A$ es similar a una matriz diagonal, es decir, existe una matriz invertible $P$ tal que

$$P^{-1}AP=D,$$

donde $D$ es una matriz diagonal cuyos valores en la diagonal son los eigenvalores de $A$.

Si un operador es diagonalizable, existe una representación matricial diagonal de dicho operador respecto a alguna base de eigenvectores.

Caracterización

Un operador $A$ es diagonalizable si y sólo si

• Existe una base de $V$ formada por eigenvectores de $A$.
• $A$ es similar a una matriz diagonal: $\exists P$ invertible tal que $P^{-1}AP=D$ con $D$ diagonal.
• La suma de las multiplicidades geométricas de todos los eigenvalores es igual a la dimensión del espacio:

$$\sum _{\lambda \in \text{spec}(A)}{m}_g(\lambda )=\dim V.$$

• Para todo eigenvalor $\lambda$, la multiplicidad geométrica coincide con la multiplicidad algebraica:

$$m_g(\lambda )=m_a(\lambda ).$$

algebra-lineal