Cambio de base

Sea $V$ un espacio vectorial de dimensión $n$ sobre un campo $\mathbb{F}$, y sean $\mathcal{B}=\{{\mathbf{v}}_1,\dots ,{\mathbf{v}}_n\}$ y ${\mathcal{B}}^{\prime }=\{{\mathbf{w}}_1,\dots ,{\mathbf{w}}_n\}$ dos bases de $V$. Es posible convertir las coordenadas de un vector en una base $\mathcal{B}$ a sus coordenadas en otra base ${\mathcal{B}}^{\prime }$.

Matriz de cambio de base

Existe una matriz invertible $P$ tal que, para cualquier vector $\mathbf{v}\in V$ con coordenadas $[v{]}_{\mathcal{B}}$ en la base $\mathcal{B}$ y $[v{]}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}$ en la base ${\mathcal{B}}^{\prime }$, se cumple:

$$[v{]}_{{\mathcal{B}}^{\prime }}=P[v{]}_{\mathcal{B}}$$

donde $P$ es la matriz de cambio de base de $\mathcal{B}$ a ${\mathcal{B}}^{\prime }$.

Construcción de $P$: Si escribimos los vectores de la nueva base ${\mathcal{B}}^{\prime }$ como combinaciones lineales de los de $\mathcal{B}$:

$${\mathbf{w}}_j=\sum _{i=1}^n{p}_{ij}{\mathbf{v}}_i$$

entonces las columnas de $P$ son los vectores $[{\mathbf{w}}_j{]}_{\mathcal{B}}$.

Propiedades

1. La matriz $P$ es invertible.
2. $P^{-1}$ es la matriz de cambio de base de ${\mathcal{B}}^{\prime }$ a $\mathcal{B}$.
3. Si $A$ es la de un operador lineal $T$ en la base $\mathcal{B}$, y $A^{\prime }$ su matriz en la base ${\mathcal{B}}^{\prime }$, entonces:$$ A’ = P A P^{-1}

Ejemplo

Sea $V={\mathbb{R}}^2$, con bases

$$\mathcal{B}=\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)\right\},{\mathcal{B}}^{\prime }=\left\{\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)\right\}$$

Entonces la matriz de cambio de base de $\mathcal{B}$ a ${\mathcal{B}}^{\prime }$ es:

$$P=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 1& -1\end{array}\right)$$

algebra-lineal