Transformada de Fourier cuántica

La transformada de Fourier cuántica (Quantum Fourier Transform, QFT) es la versión cuántica de la transformada discreta de Fourier (DFT). Actúa sobre estados de base computacional y transforma un estado $|x⟩$ en una superposición de todos los posibles estados $|y⟩$ con fases determinadas por $x$ y $y$.

Dada una base ortonormal $\{|0⟩,|1⟩,\dots ,|2^n-1⟩\}$, la QFT está definida por:

$$\text{QFT}|x⟩=\frac{1}{\sqrt{2^n}}\sum _{y=0}^{2^n-1}{e}^{2\pi ixy/2^n}|y⟩,x\in \{0,\dots ,2^n-1\}.$$

Propiedades

• Es una transformación unitaria.
• Puede implementarse con $O(n^2)$ Compuertas cuánticas.
• Su inversa es simplemente la transformada conjugada transpuesta: QFT${}^{-1}$.

Circuito cuántico para QFT

Ejemplo

Para $n=2$ qubits, la QFT es:

$$\text{QFT}|00⟩=\frac{1}{2}(|0⟩+|1⟩+|2⟩+|3⟩),$$ $$\text{QFT}|01⟩=\frac{1}{2}(|0⟩+i|1⟩-|2⟩-i|3⟩),\text{ etc.}$$

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