Espacio medible

Un espacio medible es un par $(\mathcal{X},\mathcal{A}),$ donde:

• $\mathcal{X}$ es un conjunto no vacío, llamado espacio de resultados,
• $\mathcal{A}$ es una σ-álgebra de subconjuntos de $\mathcal{X}$, cuyos elementos se llaman conjuntos medibles o eventos.

Interpretación

• El espacio $\mathcal{X}$ describe los posibles resultados de un experimento o universo de estudio.
• La $\sigma$-álgebra $\mathcal{A}$ determina qué subconjuntos de $\mathcal{X}$ se consideran observables o medibles.

Ejemplos

1. Espacio finito:
   Para $X=1,2,3$, podemos tomar $\mathcal{A}=\mathcal{P}(X)$, el conjunto potencia, que es siempre una $\sigma$-álgebra.
2. Recta real con Borel:
   En $X=\mathbb{R}$, la $\sigma$-álgebra más usada es la de los conjuntos de Borel, $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, generada por los intervalos abiertos $(a,b)$.
3. Ejemplo trivial:
   Para cualquier conjunto $X$, la $\sigma$-álgebra trivial es $\mathcal{A}=\varnothing ,X$.

Relación con otros conceptos

• Al dotar un espacio medible $(\mathcal{X},\mathcal{A})$ de una Medida de probabilidad $P$, se obtiene un espacio de probabilidad $(\mathcal{X},\mathcal{A},P)$.
• Las variables aleatorias se definen como funciones medibles desde un espacio de probabilidad a otro espacio medible.

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