Grupo de Clifford

El grupo de Clifford, denotado por $\mathcal{C}$, es el grupo de Operadores unitarios que normalizan al Grupo de Pauli, es decir, aquellos operadores que, bajo conjugación, transforman elementos del grupo de Pauli en otros elementos del mismo grupo. En otras palabras, si $C\in \mathcal{C}$ y $P\in \mathcal{P}$, entonces se cumple que

$$CP{C}^{†}\in \mathcal{P}.$$

En el caso de $1$ qubit, el grupo de Clifford es el grupo generado por los operadores de Pauli ${\sigma }_x,{\sigma }_y,{\sigma }_z$, junto con la compuertas de Hadamard ($H$) y la compuerta de fase S ($S$); con las operaciones de producto y composición de operadores. Formalmente:

$$\mathcal{C}:=⟨H,S,{\sigma }_x,{\sigma }_z⟩.$$

El grupo de Clifford en $n$ qubits se define como

$${\mathcal{C}}_n=\{V\in U_{2^n}|V{\mathcal{P}}_n{V}^{†}={\mathcal{P}}_n\}.$$

El orden de ${\mathcal{C}}_n$ es $2^{n^2+2n+3}{\prod }_{j=1}^n(4^j-1)$¹

En algunos casos se define al grupo de Clifford como el grupo cociente $C_n/U(1)$ pendiente

wikipedia Example: In the case of a single qubit, each element in the single-qubit Clifford group ${\mathbf{C}}_1/U(1)$ can be expressed as a matrix product $\mathbf{AB}$, where $\mathbf{A}\in \{I,H,S,HS,SH,HSH\}$ and $\mathbf{B}=\{I,X,Y,Z\}$. Here H is the Hadamard gate and S the S phase gate.

graph-local-clifford (a quotient group of) the Clifford group has been used to construct performant mixed-state entanglement distillation protocols ²

QEC

Footnotes

1. https://arxiv.org/abs/quant-ph/9608006 ↩

2. Local Permutations of Products of Bell States and Entanglement Distillation - Dehaene, Van den Nest, De Moor ↩