Entropia de von Neumann

La entropía de von Neumann es una medida de la incertidumbre cuántica asociada a un estado descrito por un operador de densidad $\rho$ en un espacio de Hilbert $\mathcal{H}$. Se define como:

$$S(\rho )=-\mathrm{Tr}(\rho \log \rho ),$$

donde $\log \rho$ es el logaritmo matricial de $\rho$ y la traza se toma sobre todo el espacio de Hilbert.

Esta definición es una generalización cuántica de la entropía de Shannon y cumple propiedades análogas:

Propiedades

• $S(\rho )=0$ si y solo si $\rho$ describe un estado puro.
• $S(\rho )$ es máxima cuando $\rho$ es el estado completamente mixto, es decir, $\rho =I/d$, donde $d$ es la dimensión de $\mathcal{H}$.
• Es invariante bajo transformaciones unitarias: $S(U\rho U^{†})=S(\rho )$.
• Es subaditiva: para sistemas compuestos $AB$, se cumple:

$$S({\rho }_{AB})\le S({\rho }_A)+S({\rho }_B).$$

Cuando $\rho$ se expresa en su forma diagonal mediante su descomposición espectral:

$$\rho =\sum _i{\lambda }_i|i⟩⟨i|,$$

donde ${\lambda }_i$ son los eigenvalores de $\rho$ y $|i⟩$ sus eigenvectores ortonormales, entonces:

$$S(\rho )=-\sum _i{\lambda }_i\log {\lambda }_i.$$

Esta expresión deja ver que la entropía de von Neumann depende solo del espectro de la matriz densidad y mide cuán “mezclado” está el estado cuántico.

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